A distribuição de Poisson não está diretamente relacionada às tentativas de Bernoulli. Esta densidade é usada principalmente para modelar o número de ocorrências de um evento "raro" (de probabilidade baixa) durante um intervalo de tempo especificado. Por exemplo, o número de acidentes numa estrada durante um fim de semana, o número de bactérias presentes numa solução após um certo período são , entre outros, eventos modelados pela distribuição de Poisson. Além disso, a distribuição de Poisson surge como um caso limite da distribuição Bin(n,p) quando n é grande e p é pequeno (próximo de zero) e, neste contexto, é muito útil em aproximações numéricas.

X tem distribuição de Poisson com parâmetro l , e escrevemos: X ~ Poisson ( l ), se sua densidade é:

Como usar a densidade Poisson na prática

Selecione um intervalo de tempo fixo. Conte o número de ocorrência de um certo evento de interesse neste intervalo. Este número de ocorrências é uma variável discreta com valores possíveis 0, 1, 2, .... .

Se o evento é tal que a probabilidade do número de ocorrências no intervalo ser 0 ou 1 é "grande" , então o evento pode ser na prática modelado pela distribuição de Poisson. Uma densidade Poisson modela bem eventos "raros", isto é, que não acontecem com grande frequência para qualquer intervalo de tempo fixo.

Por exemplo, o número de automóveis Corsa que entram num estacionamento no Rio de Janeiro num intervalo de 1 hora certamente não é uma variável Poisson, mas o número de Ferraris que entram no estacionamento no mesmo período de tempo deve ser Poisson !

Média e Variância de uma Poisson

Seja X ~ Poisson ( l ), então:

E(X) = l ,

VAR(X) = l

O seguinte resultado é muito útil em quase todas as manipulações envolvendo a densidade Poisson :

Esta expressão é apenas a série de Taylor para a exponencial , e é válida para qualquer x real.