A distribuição Binomial está intimamente ligada às tentativas de Bernoulli e relaciona-se com a amostragem com reposição.
Seja X = X1 + X2 + X3 + ..... + Xn onde os Xi 's são tentativas de Bernoulli independentes, todas com a mesma probabilidade de sucesso p. X representa o número de "sucessos" nas n repetições independentes da experiência, e X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p.
A densidade da variável aleatória é dada por :
onde
Aqui supomos que n é um número inteiro maior que zero e p é um número real entre zero e um.
Notação: X ~ Bin ( n,p )
Média e Variância de uma Distribuição Binomial
Se X ~ Bin( n,p ) então:
E ( X ) = np,
VAR( X ) = npq
OBS.
Teorema Binomial
Para quaisquer números reais a e b e n um inteiro > 0 temos:
Em particular, se b = 1-a, então:
Se X é uma variável Binomial (n, p) então X mede o número de "sucessos" dentre um número fixo (n) de repetições de uma experiência que tem apenas 2 resultados possíveis : "sucesso" e "falha" . A densidade Bernoulli(p) é um caso particular da densidade Binomial fazendo-se n, o número de repetições, igual a 1.
A distribuição Binomial aparece frequentemente em teoria da amostragem, em conexão com amostras com substituição. Suponha que obtemos uma amostra de tamanho n com reposição, a parir de uma população de tamanho N, na qual pN indivíduos correspondem a "sucessos" e (1-p ) N indivíduos correspondem a "falhas". Então: X , o número de sucessos na amostra, tem uma densidade Binomial com parâmetros n e p. Também, deve ser claro para você que a escolha de uma situação como sucesso ou falha é arbitrária.
O próximo
quadro apresenta algumas situações onde a densidade Binomial
pode ser usada.
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"sucesso" | "falha" | p =
probabilidade de sucesso |
n = número de repetições da experiência | X = variável aleatória Binomial |
| jogada de uma moeda | cara | coroa | 1/2 | número de jogadas da moeda | número de caras nas n jogadas da moeda |
| nascimento de uma criança numa família | menina | menino | 1/2 | número de crianças na família | número de meninas na família |
| jogada de um dado | sair o número 6 | sair qualquer outro número | 1/6 | número de jogadas do dado | número de vezes que saiu o número 6 nas n jogadas do dado |
| "chutar" a resposta numa prova de múltipla escolha onde cada questão tem 5 opções | acertar a resposta da questão | errar a resposta | 1/5 | número de questões da prova | número de respostas certas na prova |
| pegar uma bola numa caixa que contém r bolas vermelhas e b bolas azuis e devolvê-la a caixa, anotando a cor da bola selecionada | retirar bola vermelha da caixa | retirar bola azul da caixa | r/(r+b) | número de bolas retiradas com reposição | número de bolas vermelhas dentre as bolas retiradas com reposição |
Na última situação deste quadro supomos que a amostra de peças é obtida com reposição, de tal forma que as probabilidades de seleção de uma peça com defeito sejam as mesmas para cada peça na amostra. É claro que esta situação não é realista, pois ninguém vai jogar de volta uma peça selecionada no lote de peças produzidas. No entanto, já vimos que se N ( o tamanho da população) for muito maior que n (o tamanho da amostra ), as amostragens com e sem reposição fornecem praticamente os mesmos resultados, e então o modelo Binomial torna-se útil na prática. Por exemplo, se foram produzidas 10,000 peças e tomamos uma amostra de 50 peças para verificar a incidência de defeitos, tanto faz usar amostragem com ou sem reposição. Intuitivamente neste caso a importância das características de uma única peça é muito pequena no conjunto todo.
Exemplo
Numa eleição supõe-se que 30 % dos eleitores são favoráveis a uma certa proposta. Toma-se uma amostra de tamanho 20 de eleitores da cidade do Rio de Janeiro. Calcular as probabilidades de 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10 dos eleitores na amostra serem favoráveis à proposta.
Solução
Seja X = número de eleitores na amostra que são a favor da proposta. Então os valores possíveis de X são 0, 1, 2, ...., 20, e X tem densidade Binomial com parâmetros n = 20 e p = 0.30. As probabilidades para os diversos valores de X são calculadas através da fórmula :
A tabela a seguir mostra os
valores destas probabilidades para x = 4, ..., 10.
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