Funções de uma v.a. discreta
As vezes estamos
interessados no comportamento de alguma função de uma variável
aleatória X. Isto é em
Y = H (X).
Eventos Equivalentes:
Funções de
uma v.a. discreta
Exemplo: voltemos ao exemplo de jogar uma moeda duas vezes e contar o número de caras. Os valores que podem ser assumidos por X são {0, 1, 2} com probabilidades 1/4, 1/2, 1/4.
Se escolhemos Y = 2X - 1 os valores que podem ser assumidos por Y são {-1, 1, 3} com probabilidades 1/4, 1/2, 1/4.
Logo, ao tratarmos
de funções de variáveis discretas, basta que mapeemos
as probabilidades de X correspondentes as de Y!
Funções de uma v.a. contínua
Se X é uma v.a. contínua, com densidade de probabilidade f(x) e H também é contínua, então Y=H(X) também é uma v.a. contínua. A densidade de probabilidade para Y será denotada por fY(y) e pode ser encontrada a partir dos três passos a seguir:
1. Obtenha 
através do evento equivalente em X
2. Diferencie FY(y)
com respeito a y, para obter fY(y)
3. Encontre o espaço
amostral da nova variável Y
Exemplo:
Se Y = 2X + 8, encontraremos fY(y) através dos 3 passos anteriores:
1. 
2.
3.
|
Se X é uma v.a. com
função de densidade de probabilidade onde |
No exemplo anterior:
como encontrado
anteriormente.
Esperança de funções de uma v.a.:
e
y = H(x) é uma função de x, contínua estritamente
crescente ou estritamente decrescente, então a v.a. Y
= H(X) tem função de densidade de probabilidade igual a:
expressa
em termos de y