Introdução

Definição

Introdução

 Quando é encontrado um sistema de equações ao invés de uma única equação, a utilização de matrizes facilita muito o desenvolvimento do problema. Isso era verdade para equações de diferença, onde a solução u_k=A^ku_o dependia das potências de A. Também é verdade para equações diferenciais, onde a solução u(t)=e^Atu₀ depende da exponencial de A. Para definir esta exponencial, e para entendê-la, observe o exemplo:

O primeiro passo é sempre encontrar os autovalores e autovetores:

Agora há várias possibilidades, todas levando à mesma resposta. Provavelmente a melhor maneira é descobrir a solução geral, e compará-la ao vetor inicial u_o em t = 0. A solução geral é a combinação de soluções puramente exponenciais. Estas são soluções de uma forma especial ce^ltx, onde l é um autovalor de A e x é seu autovetor correspondente; eles satisfazem a equação diferencial, desde que d/dt(ce^ltx)=A(ce^ltx)^.

Exemplo:
 

ou

No instante zero, onde as exponenciais são e⁰ = 1, u₀ determina c₁ e c₂:
 

ou

S é a matriz formada por autovetores. E as constantes c = S^-1u₀ são as mesmas que das equações de diferença. Logo, a solução na forma matricial fica:

Esta é a fórmula fundamental desta seção: u = Se^LtS^-1u₀soluciona a equação diferencial assim como SL^kS^-1u₀solucionava equações de diferença. As matrizes chaves deste exemplo são:

Agora vamos apresentar a definição de exponencial de matriz com base no que foi apresentado nesta breve introdução.

Para uma matriz diagonal L é fácil encontrarmos a exponencial; e^Ltsó possui os n números e^ltem sua diagonal principal. Para uma matriz genérica A, a melhor maneira é imitar a definição de séries de potência:

Se nós substituíssemos x por At e 1 por I (matriz identidade), a soma seria uma matriz n por n:

Isto seria a exponencial de At. A série sempre converge, e sua soma tem as seguintes propriedades:

Por esta última propriedade, u=e^Atu₀ soluciona a equação diferencial. Agora, lembrando que  (porque S cancela S^-1), continuamos nosso desenvolvimento de e^At:

Definição:

Se A pode ser diagonalizada, A = SLS^-1, então:

As colunas de S são os autovetores de A:

Exemplo