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Observando el modelo, podemos hacer el equilibrio de fuerzas.
F_{massa} = m . \ddot{y}
F_{amortecedor} = b . (\dot{y} - \ddot{y_{0}})
F_{mola} = k . (y - y_{0})
Entonces:
F_{massa}+ F_{amortecedor}+ F_{mola} = F donde F es la fuerza aplicada externamente e y_{0} es la posición inicial del sistema.
Substituyendo tenemos:
m . \ddot{y} + b . (\dot{y} - \ddot{y_{0} + k . (y - y_{0}) = F
Escogiendo las variables como siendo y y v:
\begin{cases}
\dot{y} = v \\
\dot{v} = \ddot{y}
\end{cases}
Aislando \ddot{y} en la ecuación:
\ddot{y} = \frac{1}{m} (-b \dot{y} - ky + F + b \dot{y_{0}} + k y_{0}) en la ecuación:
Por tanto:
\begin{cases}
\dot{y} = v \\
\ddot{y} = \frac{1}{m} (-bv - ky + F + b \dot{y_{0}} + k y_{0})
\end{cases}
Finalmente, pasando para la forma de espacio-estado, se obtiene:
\begin{bmatrix}
\dot{y}\\\dot{v}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
- \frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y \\ v
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
\frac{1}{m} & \frac{b}{m} & \frac{k}{m}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
F \\ \dot{y_{0}}
\\ y_{0}
\end{bmatrix}
\overrightarrow{x}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y \\ v
\end{bmatrix}
Donde x son las salidas escogidas para observación.
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