Propriedade 1

Seja n(t) um ruído branco Gaussiano de média nula e densidade espectral de potência N₀/2 e x₁(t) e x₂(t) duas funções ortogonais. Então as variáveis aleatórias
 

(1)

são variáveis aleatórias Gaussianas, estatisticamente independentes de média nula e variâncias dadas respectivamente por
 

(2)

onde E_i é a energia da função x_i(t).

A característica Gaussiana das variáveis n₁ e n₂ decorre da propriedade básica dos processos aleatórios Gaussianos de que qualquer operação linear sobre estes processos resulta em variáveis conjuntamente Gaussianas. A condição de média nula pode ser verificada sem dificuldade, aplicando-se o valor esperado a (1) e notando que o valor esperado da integral é igual à integral do valor esperado. Para demonstrar o restante da propriedade enunciada acima, basta fazer o cálculo da correlação entre n₁ e n₂ ou, seja,
 

(3)

Resolvendo a integral em relação à variável t₂ obtém-se
 

(5)

Como as funções x₁(t) e x₂(t) são ortogonais, resulta que o valor esperado acima é nulo. Em se tratando de variáveis Gaussianas de médias nulas tem-se, portanto, que as variáveis n₁ e n₂ são estatisticamente independentes.

Para o cálculo da variância de cada uma das variáveis, basta igualar os índices subscritos em (5) para obter
 

(6)

Propriedade 2

Considere-se um filtro de função de transferência H(f) cuja entrada n(t) é um ruído branco Gaussiano de média nula e densidade espectral de potência N₀/2. A amostra do sinal de saída do filtro, em um instante qualquer, é uma variável aleatória Gaussiana de média nula e variância
 

(7)

Alternativamente
 

(8)

onde h(t) é a resposta ao impulso do filtro.

Como a filtragem é um processamento linear o sinal de saída é um processo aleatório Gaussiano e, consequentemente, em qualquer instante, o valor do processo é uma variável aleatória Gaussiana. Para o cálculo da variância usa-se, inicialmente, o relacionamento entre as funções densidade espectral de potência na entrada e na saída de um filtro de função de transferência H(f). Quando na entrada do filtro tem-se um processo aleatório com densidade espectral de potência S_x(f), a densidade espectral de potência do sinal na saída do filtro é dada por
 

(9)

Por outro lado, sabe-se que, para processos aleatórios de média nula, a variância em um instante qualquer é dada pela integral da densidade espectral de potência. Assim, como a densidade espectral de potência do ruído é N₀/2 a aplicação de (9) leva a (7). A expressão alternativa dada por (8) advém da propriedade da Transformada de Fourier denominada Propriedade de Parseval.