É importante que o aluno perceba a importância da utilização da linearidade para resolução de sistemas. Um sistema é dito linear se e somente se ele atende ao Princípio da Superposição. Para isto ele deve obedecer a dois critérios:

Primeiro critério

Se para uma entrada  u(.)  tem-se uma resposta  y(.) , para uma entrada  &u(.) , onde & é um número real qualquer, deve-se obter como resposta  &y(.).

Observa-se que os argumentos das variáveis são representados por um ponto "(.)" para indicar um parâmetro que pode ser:

• ,que representa o tempo contínuo.
•   ,que representa o tempo discreto.

Exemplo 1

Seja um sistema integrador de tal forma que

 

se a entrada fosse  &u()

, a resposta seria

assim vê-se que a integração de zero até um instante qualquer t obedece ao primeiro critério de linearidade.

Fica para o aluno, a verificação da operação de derivação quanto a este critério.

Exemplo 2

Seja um sistema tal que

se a entrada fosse  &u(k-j) , a resposta seria

tal qual no exemplo 1, o somatório também obedece ao primeiro critério de linearidade.
 

Exemplo 3

Seja um sistema onde a resposta é a soma da entrada com uma constante a. Assim:

y(.) = u(.) + a

Para uma entrada  &u(.) , a resposta obtida é

&u(.) + a

Se o sistema fosse linear, este deveria ser o valor de  &y(.):

&y(.) = &[u(.) + a] = &u(.) + &a

Como o resultado obtido não é igual ao previsto para sistemas lineares, conclui-se que este sistema não é linear.

Segundo critério

Se para uma entrada  u₁(.)  tem-se uma resposta  y₁(.)  e para uma entrada  u₂(.)  tem-se uma resposta  y₂(.),  se a entrada  u(.) = u₁(.) + u₂(.)  for aplicada, deve-se ter como resposta a função  y(.) = y₁(.) + y₂(.).

Exemplo 4

Voltando ao sistema integrador,

para entrada:

u() = u₁() + u₂()

tem-se como resposta :

Conclui-se que a integração de zero até um instante t obedece também ao segundo critério de linearidade.

Portanto pode-se afirmar que esta é uma operação linear.

Mais uma vez, fica para o aluno a verificação da linearidade para a operação de derivação.

Exemplo 5

Seja o sistema já apresentado anteriormente

de forma que, para as entradas  u₁(k-j)  e  u₂(k-j)  obtenham-se as seguintes respostas:

se a entrada fosse  u(k-j) = u₁(k-j) + u₂(k-j) , a resposta obtida seria :

tal qual a integração de zero até um instante t genérico, o somatório é uma operação linear.

Exemplo 6

Seja o sistema onde a resposta obtida é o quadrado da entrada, assim:

y(.) = u²(.)

Para as entradas  u₁(.)  e  u₂(.)  as respectivas respostas seriam:

Para uma entrada  u(.) = u₁(.) + u₂(.)  obtém-se como resposta:

Concluí-se que este sistema não é linear.

O aluno já deve ter percebido que os exemplos 1, 2, 4 e 5 foram expostos para comprovar que, quando um sistema é descrito por uma equação diferencial linear ou por uma equação a diferenças finitas linear, ele é dito como um sistema linear e nele pode ser aplicado o Princípio da Superposição.

Exercício 1

Considere o circuito da figura a seguir:
 

Neste circuirto, para uma tensão  u₁(t) , mede-se a saída  y₁(t):
 

Para uma nova tensão  u₂(t) ,mede-se a saída  y₂(t):
 

Pergunta-se:
 

a) Quando este circuito for excitado por  û(t) = 0.5 u₁(t) , qual será sua saída ?
Solução do item a:

b) Quando este circuito for excitado por  û(t) = 3 u₂(t) , qual será sua saída?
Solução do item b:

c) Quando este circuito for excitado por  û(t) = 0.3u₁(t) + 0.5u₂(t) , qual será sua saída?
Solução do item c:

Exercício 2

Dado um sistema regido por uma EDF linear e invariante no tempo, obtém-se a seguinte tabela para respostas às entradas  u₁(k) = impulso unitário aplicado na origem  e  u₂(k) = degrau unitário aplicado na origem.
 
 

Pergunta-se:

a) Qual será o valor da resposta instantânea para uma entrada  u₃(k) = 0.1u₁(k) ?
Solução do item a:

b) Qual será o valor da resposta para k = 2 deste sistema se for excitado por  u₄(k) = 2u₂(k) ?
Solução do item b:

c) Qual será o valor da resposta para k = 3 deste sistema se for excitado por  u₅(k) = 0.5u₁(k) + u₂(k) ?
Solução do item c: