Definição

Equação Característica

Determinação

• Exemplos
• Exercícios

Seja A uma matriz  n x n.  Define-se como autovetor de A, um vetor v não-nulo, pertencente ao Rⁿ, onde o produto A.v é um múltiplo escalar de v. Ou seja,

A v =  v

O escalar que satifaz a equação acima é o autovalor da matriz A.

Exemplo

Como v = I.v, pode-se reescrever A v = v como  A v = I v, ou melhor,

( A - I ) v = 0

Para que a equação acima admita soluções não-nulas, ou seja, para que se obtenha vetores v não-nulos deve-se ter

det ( A - I) = 0

que é chamada de equação característica.

Resolvendo a equação característica det( A - I) = 0, obtém-se os autovalores. Depois de calculá-los, volta-se a equação ( A - I ) v = 0 para, então, calcular os autovetores.
 

Exemplos

Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes matrizes:

Resposta

1^o) Calcular os autovalores de A.

2^o) Calcular o autovetor correspondente à cada autovalor encontrado.

Resposta

1^o) Calcular os autovalores de A.

2^o) Calcular o autovetor correspondente à cada autovalor encontrado.

 
Exercícios propostos

Calcular os autovalores e os respectivos autovetores das seguintes matrizes:

Resposta

Resposta
 

a) Se v é o autovetor correspondente ao autovalor  da matriz  A, o vetor  v, para qualquer real , é também autovetor de A associado ao mesmo autovalor .

Portanto, o que determina-se a partir de um autovalor é uma direção e não um único vetor.

b) Seja A uma matriz n x n.  A soma dos n autovalores da matriz A é igual a soma dos n números que estão na diagonal principal.

Esta soma é chamada de traço da matriz.
 

c) Seja A uma matriz nxn. O produto dos n autovalores é igual ao determinante da matriz A.

d) Quando A é uma matriz triangular, os autovalores são os elementos da diagonal principal.

Logo os autovalores de A são 2, 3 e 5.