Definição

Considere uma função f(x). A Transformada de Fourier desta função é:

Reciprocamente, a Transformada de Fourier inversa de F(k) é a função f(x).

Exemplo

Determinar a Transformada de Fourier da seguinte função:

Solução


 

Exercício

Obter a Transformada de Fourier da função de probabilidade Gaussiana.

Solução

Transformada em Cosseno e em Seno de Fourier

Transformada em Cosseno de Fourier

Seja f(x) uma função real par. A Transformada em Cosseno de Fourier desta função é:

 
Reciprocamente, a transforma inversa é:

Transformada em Seno de Fourier

Seja f(x) uma função real ímpar. A Transformada em Seno de Fourier desta função é:

 
Reciprocamente, a transforma inversa é:

Propriedades

Propriedade da Conjugação

Seja f(x) real. Tem-se que:

A partir desta propriedade, obtém-se as seguintes propriedades:

Se f(x) é par, F(k) é real.

Se f(x) é ímpar, F(k) é imaginário puro.

Propriedade do Amortecimento

Propriedade do Deslocamento

Propriedade de Diferenciação

Da mesma forma, obtém-se as Transformadas de Fourier das derivadas superiores de f(x).

Teoremas

Teorema da Convolução

Seja H(k) = F(k)G(k). Então:

Teorema da Integral de Fourier

Seja f(x) uma função para a qual é válida a transformação inversa. Tem-se que:

Teorema de Parseval

Segundo Teorema de Parseval