Série de Fourier Trigonométrica

Seja uma função f(x) representada pela série trigonométrica

Supondo que o intervalo de convergência da série seja , é denominada Série de Fourier de f(x) a série trigonométrica construída a partir dos seguintes coeficientes:
 

	(n > 0)

a_n e b_n são chamados de coeficientes de Fourier de f(x).

Generalização da Série de Fourier
 

	(n > 0)

Esta série converge para f(x) no intervalo  e tem periodicidade 2L.

Paridade de uma função

a) Função par

f (-x) = f (x)

Para funções pares,

b) Função ímpar

f (-x) = - f (x)

Para funções ímpares,

Estas propriedades podem simplificar muitos cálculos.
 

Convergência na média

Seja f(x) uma função com um número finito de descontinuidades. A Série de Fourier no intervalo   converge para:

i) Se x é ponto de continuidade, para f(x)

ii) Se x₀ é ponto de descontinuidade, para 

sendo 

Exemplo

Obter a Série de Fourier da função  f(x) = x  no intervalo .

Solução

Calcular os coeficientes a_{0 ,}a_n e b_n.

	(f(x) é ímpar)
	( integrando ímpar)

Logo,

Como f(x) é uma função ímpar, a Série de Fourier da mesma é uma soma de senos.

Gráficos
 

Exercício

Obter a Série de Fourier, no intervalo , da seguinte função:

Solução

Série de Fourier em Cossenos

Seja uma função f(x) qualquer (não sendo obrigatoriamente par ou ímpar). É denominada Série de Fourier em Cossenos, no intervalo 0 < x < L, a série:

 

sendo

Esta série reproduzirá a função

e é a extensão simétrica de f(x) no intervalo -L< x < 0.

Série de Fourier em Senos

Seja uma função f(x) qualquer (não sendo obrigatoriamente par ou ímpar). É denominada Série de Fourier em Senos, no intervalo 0 < x < L, a série:

 
 

sendo

Esta série reproduzirá a função

e é a extensão anti-simétrica de f(x) no intervalo -L< x < 0.

Exemplo

Seja a função . Obter no intervalo :

a) Série de Fourier

b) Série de Fourier em Cossenos

c) Série de Fourier em Senos

Solução

a) Série de Fourier
 
 

b)
 

c)
 
 

Exercício

Seja a função . Obter no intervalo :

a) Série de Fourier

b) Série de Fourier em Senos

c) Série de Fourier em Cossenos

Solução

A série de Fourier pode, também, ser escrita da seguinte forma:
 
 

onde

Esta série é chamada de Série de Fourier Complexa.

Exemplo

Obter a Série de Fourier Complexa da função f(x) no intervalo .

Solução

Calcular C₀ e C_n.
 
 

Exercício

Obter a Série de Fourier Complexa da função f(x) no intervalo .
 

Solução

Vários problemas físicos podem ser resolvidos utilizando Séries de Fourier. A seguir está uma aplicação da Série de Fourier Complexa a um circuito elétrico.

Seja o circuito da figura abaixo:

Onde V_e(t) é uma tensão de entrada periódica. Deseja-se obter I(t).

A equação do circuito é:

No regime permanente, a corrente I(t) também é periódica e de mesma frequência que V_e(t).

Suponhamos que V_e(t) e I(t) possam ser representadas por Séries de Fourier Complexa.

Diferenciando estas séries tem-se que:

Substituindo na equação diferencial tem-se:

 

Como

pode-se obter a solução do problema.

Obs: Este resultado é válido, desde que a Série de Fourier de V_e(t) exista.