Considera-se um sistema monovariável em que
a entrada e a saída podem ser relacionadas por:
A pergunta que se coloca é: Se u(t) é
limitada, quais as condições para que y(t) também
seja limitada?
Ou,seja, se 
para todo 
,
sob que condições existe uma constante k2 tal
que
?
Obs: o sistema está relaxado (estamos utilizado
a descrição entrada-saída).
Definição: Um sistema relaxado é Bibo-estável se e somente se, para toda entrada limitada, a saída também é limitada.
Obs: Bibo = " bounded-input bounded out-put "
Exemplos:
1)
Se a tensão no capacitor for zero, a resposta
será 
para todo t.
Portanto o sistema é Bibo-estável.
2)
Se u(t)=sen t 
A entrada u(t) = sen(t) é limitada, mas a saída não. Logo, o sistema não é Bibo-estável.
Para mostrar que um sistema não
é Bibo-estável, basta encontrar uma entrada limitada que
dê origem a uma saída não limitada.
No entanto, pode-se achar milhares de
entradas limitadas que deêm origem a saídas limitadas sem
assegurar que o sistema é Bibo-estável.
Como o conceito de estabilidade Bibo é relativo à descrição entrada-saída, com condições iniciais nulas, para sistemas invariantes é mais cômodo fazer uso da função de transferência.
Assim, têm-se o teorema:
Um sistema linear descrito por uma função
de transferência própria G(s) é Bibo-estável
se e somente se todos os pólos de G(s) tiverem parte real negativa.
Exemplo:
G(s)= 1/s ®
s=0 é um pólo na origem ®
não é Bibo-estável.
Se por exemplo, a entrada u(t) for um degrau ( U(S)=1/s
), a saída será uma rampa: 
,
a qual não é limitada.
Para sistemas multivariáveis, o teorema é
estendido para cada termo da matriz função de transferência.
Critério Rough-Hurwitz
Um polinômio com coeficientes reais é
um polinômio de Hurwitz se todas as raízes do polinômio
têm parte real negativa.
Condição necessária: Todos os coeficientes do polinômio têm que ser positivos. Se algum for negativo ou zero, o polinômio não é um polinômio de Hurwitz.
Obs: Se 
,
considera-se, para efeitos de verificação da condição
necessária, que a0 > 0. Se a0 < 0,
a multiplicação de todo polinômio por -1 não
afetará as raízes.
Condição necessária e suficiente:
Um polinômio de grau "n" com coeficientes
todos positivos é um polinômio de Hurwitz se e somente se
os "n+1" termos da primeira coluna da tabela de Rough-Hurwitz forem todos
positivos (> 0)
O critério é mostrado a seguir para
um polinômio de grau 6.
Forma-se a tabela:
Obs:
1)Qualquer linha pode ser multiplicada ou dividida
por um número positivo sem alterar o resultado.
2)Quando o primeiro termo de uma linha é igual
a zero ( o que impede que o cálculo prossiga) e os demais não
são todos nulos, pode-se multiplicar o polinômio original
por um fator (s+ a
), que introduz uma raiz negativa conhecida, e aplicar o método
de Rough para o novo polinômio.
Exemplo:
Faz-se então 
Tendo utilizado o polinômio D1(s),
foi possível identificar 2 trocas de sinal, indicando que o número
de raízes com parte real positiva é dois.
3)Quando todos os coeficientes de uma linha são nulos, procede-se da seguinte forma:
1- Uma equação auxiliar pode ser formada
a partir da linha que precede a linha nula (ver exemplo a seguir)
2- A tabela pode ser completada substituíndo-se
os coeficientes nulos pelos da derivada da equação auxiliar.
3- As raízes da equação auxiliar
são também raízes da equação original.
Elas ocorrem aos pares e são simétricas em relação
à origem.
Exemplo:
Equação auxiliar:
Estas raízes são simétricas
em relação à origem e também anulam a equação
original.
Para completar a tabela, deriva-se a equação
auxiliar:
4s+0 =0
A tabela fica:
Como não há trocas de sinal, não existem raízes com parte real positiva.
O critério de Rough-Hurwitz é particularmente útil quando temos um parâmetro K a ajustar em sistemas com realimentação.
Por exemplo:
Denominador: 
Se desejarmos encontrar a faixa de valores de K para os quais o sistema é estável, fazemos:
Da linha s2 ® K < 80
Da linha s0 ®
K > 0
Da linha s1 ®
-(K - 28,1) (K +71,1) > 0
(K - 28,1) (K +71,1) < 0
Combinando-se as restrições tem-se: 0 < K < 28,1
Para K=28,1 a equação possui raízes
imaginárias, que podem ser determinadas a partir da linha s2
(caso 3 das observações).
Exemplo:
Considere o sistema abaixo. Ache o valor de a
para o qual ele é Bibo-estável.
