Na seção anterior, foi considerada a representação de sequências periódicas em termos de séries de Fourier discretas.

Com a interpretação correta, a mesma representação pode ser aplicada à sequências finitas. A representação de Fourier resultante será referida como a Transformada Discreta de Fourier (DFT).

Considere uma sequência finita x(n) de tamanho N, tal que x(n) = 0 exceto para 0 £ n £ N-1 (uma sequência de tamanho M< N também pode ser considerada de tamanho N, fazendo-se os últimos N-M elementos nulos). A sequência periódica correspondente, de período N, para a qual x(n) é um período, será denotada por x’(n) e dada por
 

(15)

Como x(n) é finita de tamanho N, não há sobreposição entre os termos x(n+rN) para diferentes valores de r. Assim, pode-se escrever a equação (15) como
 

A sequência finita x(n) é obtida de x’(n) extraindo-se um período, i.e.,
 

Novamente, por conveniência, define-se a sequência retangular dada abaixo:
 

Com esta nova notação, x(n) pode ser escrito como
 

(16)

Como foi definido anteriormente, os coeficientes X’(k) da série de Fourier discreta da sequência periódica x’(n) formam uma sequência periódica de período N.

Para manter a dualidade entre os domínios do tempo e da frequência, deve-se escolher os coeficientes de Fourier associados com a sequência finita como sendo uma sequência finita correspondendo a um período de X(k). Assim, se X(k) denota os coeficientes de Fourier associados a x(n), tem-se
 

	(17)
	(18)

Sabe-se, de resultados anteriores, que
 

	(19.a)
	(19.b)

Como os somatórios acima envolvem somente o intervalo [0,N-1], tem-se
 

	(20.a)
	(20.b)

A equação (20.a) representa a transformada de Fourier discreta de x(n). Note que a DFT de uma sequência finita corresponde a amostras de sua transformada Z igualmente espaçadas no círculo unitário.

É importante lembrar que, em se tratando de uma DFT, uma sequência finita é representada como sendo um período da sequência periódica.