Foi visto anteriormente que os valores X’(k) na série de Fourier discreta de uma sequência periódica são idênticos a amostras da transformada Z de um único período de x’(n), avaliadas em N pontos igualmente espaçados no círculo unitário.

Será agora considerada a relação entre uma sequência não periódica com transformada X(z) e a sequência periódica na qual os coeficientes da série discreta correspondem a amostras de X(z) igualmente espaçadas no círculo unitário.

Assim, seja x(n) uma sequência não periódica cuja transformada Z
 

(9)

possui uma região de convergência que inclui o círculo unitário. Avaliando a transformada Z em N pontos igualmente espaçados no círculo obtém-se a sequência periódica
 

(10)

Foi visto que existe uma relação única entre a sequência periódica X’(k) e a sequência periódica x’(n), dada por
 

(11)

Deseja-se agora obter a relação entre as sequências x’(n) e x(n). Substituindo o valor de X’(k) dado por (10) na equação (11) obtém-se
 

Trocando a ordem dos somatórios:
 

Sabe-se da equação (3) que
 

Logo tem-se
 

(12)

Da equação (12) observa-se que, se a sequência não periódica x(n) é de duração finita menor do que N, então cada período de x’(n) será uma réplica de x(n).

Daí, se x(n) é de duração menor que N, ela pode ser formada extraindo-se, simplesmente, um período de x’(n).

Equivalentemente, uma sequência finita de tamanho N (ou menor que N) pode ser representada exatamente por N amostras da sua transformada Z, avaliadas no círculo unitário.

Como a sequência original x(n) pode ser formada a partir de N amostras de X(z) no círculo unitário, X(z) também pode ser formada a partir dessas mesmas N amostras. Se x(n) é nula para n ³ N, então
 

(13)

Como x(n) = x’(n) para 0 £ n £ N-1, podemos substituir (11) em (13) e obter
 

Trocando a ordem dos somatórios tem-se
 

Que pode ser escrito como
 

Assim
 

(14)

Essa equação expressa a transformada Z de uma sequência finita de tamanho N, em termos de N "amostras de frequência " de X(z) no círculo unitário.