Seja x’(n) uma sequência periódica com período N, tal que x’(n) = x’(n+kN), para qualquer k inteiro.

x’(n) será representado através de uma série de Fourier, ou seja, por uma soma de senos e cossenos, ou, equivalentemente, uma soma de exponenciais complexas com frequências múltiplas inteiras da frequência fundamental 2p /N, associada à sequência periódica.

Existem somente N exponenciais complexas distintas com período submúltiplo inteiro do período fundamental N. Isto ocorre porque a exponencial complexa
 

(1)

 
é periódica em k com período N. Assim, o conjunto das N exponenciais complexas em (1) com k Î [0,N-1] define todas as exponenciais complexas com frequências múltiplas inteiras de 2p /N. Logo, a série de Fourier que representa x’(n) só pode conter N dessas exponenciais complexas, tendo assim a forma
 

(2)

A constante 1/N é incluída por conveniência.

Para obter os coeficientes X’(k), usa-se a relação
 

(3)

Multiplicando ambos os lados de (2) por
 

e somando de 0 até N-1 obtem-se
 

Trocando a ordem dos somatórios, fica-se com
 

Assim, usando (3) , tem-se
 

Logo, os coeficientes X’(k) são obtidos pela relação
 

(4)

Note-se que a sequência X’(k) é periódica com período N. Tal fato era esperado, pois como só existem valores distintos das exponenciais complexas para k = 0,1....,N-1, só devem existir N coeficientes distintos na série de Fourier que representa a sequência periódica.

Os coeficientes da série de Fourier podem ser interpretados como uma sequência finita, dada por (4), para k=0,1,...,N-1 e zero caso contrário, ou como uma sequência periódica definida para todo k pela equação (4). No entanto, é mais conveniente interpretar os coeficientes X’(k) como uma sequência periódica. Neste caso, há uma dualidade entre os domínios do tempo e da frequência das séries de Fourier das sequências periódicas. Por conveniência de notação, define-se
 

e então tem-se o par
 

	(5)
	(6)

com X’(k) e x’(n) sequências periódicas.

A sequência periódica X’(k) pode ser interpretada como amostras igualmente espaçadas no círculo unitário da transformada Z de um período de x’(n). Para obter tal relação, considere-se x(n) como sendo um período de x’(n), i.e., x(n) = x’(n) para 0£ n £ N-1 e x(n) = 0 caso contrário.

Assim X(z), a transformada Z de x(n), é dada por
 

Como x(n) =0 fora do intervalo [0,N-1], tem-se
 

(7)

Comparando as equações (5) e (7), obtém-se
 

(8)

Isto corresponde a obter amostras de X(z) em N pontos igualmente espaçados no círculo unitário, a primeira ocorrendo em z=1.