Seja

P(s) = 1/(s+1)

Seja r(t) uma rampa com coeficiente angular arbitrário. Achar um compensador C(z) tal que y(t)  r(t) quando .

Solução:

De (29) temos

onde  é o intervalo de tempo entre duas amostragens.

r(i) = A(i),  onde A é o coeficiente angular da rampa. De (16j) temos

De acordo com o que vimos acima todo compensador C(z) que resolve o problema deve satisfazer a (42a) e (42b).

Então, devemos ter

, para algum polinômio .

A seguir temos que achar um  e um N_c(z) tal que

seja Schur.

Observe-se que com  = 1, poderei ter N_c(z) de 2^o grau (pois C(z) tem que ser próprio para que o SMF seja estável).

Seja N_C(z) = a z² + b z + c

Posicionemos todos os zeros de polinômio característico na origem. Então,
 

(43)

Portanto uma solução para o problema é

com a, b e c dados em (43).

Qual seria a implementação (algoritmo do computador) para realizar C(z)?

Lembrando que z corresponde a um avanço no tempo, temos

onde a, b e c são dados em (43).

Finalmente, vamos ver como fica e(i). Ora
 

(44)

Ora, lembra-se que, da definição de transformada Z.

Identificando-se esta com (44), vem

Ou seja, e(i) se anula a partir de i = 3. Ou seja, o erro vai a zero em tempo finito. Este é o chamado "dead-beat controle". Vê-se aqui uma aparente grande vantagem do controlador a tempo discreto sobre o de tempo contínuo, pois não se consegue, em tempo contínuo, obter erro nulo em tempo finito. A vantagem é mais aparente do que real, porque embora e(i) é nulo a partir de 3, entretanto e(y) no intervalo das amostragens é diferente de zero e vai tendendo a zero assintoticamente tal como no caso de controlador de tempo contínuo. (Mas a análise rigorosa deste fato escapa ao escopo deste curso, como já foi mencionado antes).