Quando um sistema de tempo contínuo
for controlado por um computador, tem que haver as conversões acima:
a 1a, porque o computador só entende dados discretizados
no tempo, isto é se um sinal r(t) deve ser processado por um computador,
ele deve ser transformado numa coleção finita de números:
com efeito, um sinal de tempo contínuo tem um no infinito
de informações, a saber, o valor de r(t) em cada instante
t de um intervalo contínuo [0 , T]. Como o computador digital não
é capaz de processar no infinito de informações,
o sinal deve ser discretizado no tempo. Quem faz isto é o amostrador,
que transforma o sinal contínuo num sinal discreto
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onde 
é o intervalo de tempo entre duas amostragens. (Supõe-se,
o que ocorre na imensa maioria dos casos práticos, que o intervalo
de tempo entre 2 amostragens, ,
se mantém constante. Caso isto não ocorra, o problema se
torna extremamente complicado do ponto de vista matemático).
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Um amostrador "instantâneo", i.e.,
que converta instantaneamente o sinal no instante t num pulso (número)
no instante i,
não existe na prática, pois todo sistema tem alguma "inércia",
mesmo que extremamente pequena.
É claro que se o intervalo de amostragem, ,
for muito longo, perde-se muita informação a respeito do
sinal. Um caso "dramático" seria, por exemplo, o da amostragem de
um sinal senoidal que se fizesse com um intervalo de amostragem igual ao
período da senóide:
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Neste caso r(i)
seria um "degrau", ou seja, r(i)
= cte = 0 
Uma pergunta natural: qual deve ser o intervalo de amostragem de modo que o sinal original possa ser reconstruído a partir do sinal amostrado.
Seja 
a transformada de Laplace e suponha que 
seja
dado em função de w tal como abaixo:
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[0 , wb] é chamada a "banda passante" (bandwidth) do sinal.
O famoso teorema da amostragem (devido a Shannon, demonstrado no fim dos anos 40’s) diz que o sinal r(t) pode ser reconstruído a partir de
.
Portanto, 
.
É claro que muito freqüentemente 
não se anula a partir de alguma freqüência, mas vai se
atenuando . O que se pode fazer, neste caso, é introduzir um filtro
passa-baixa antes do amostrador.
O processo inverso, i.e., conversão de um sinal em tempo discreto para um sinal em tempo contínuo (conversão esta chamada digital-analógica) é feita por um "segurador" (hold).
O mais comum dos seguradores é o
chamado de "ordem zero" (zero-order hold) que mantém cte. o valor
do sinal no intervalo entre duas amostragens , i.e.
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O segurador de 1a ordem toma o valor médio do sinal nos 2 instantes anteriores, o de 2a ordem utiliza 3 instantes, etc...
Seja um sistema de tempo contínuo:
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(1)
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Sabemos que
Seja t0 := i,
t=(i+1).
Então, supondo u(
)
= u(i) cte.
em 
[t0, t], vem
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(2) |
Seja
Definamos
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(4) |
Integrando (4), vem
Consequentemente, se 
for não-singular. obtemos:
Então,
x[(i+1) . ]
= A . x(i) +
B.u (i)
Omitindo
no argumento, para simplificar, por ser cte., vem:
| x ( i + 1) = A . x(i) + B.u(i)
y(i) = C.x(i) |
(3) |
onde 
As equações (3) foram obtidas
a partir de um sistema de tempo contínuo supondo cte. u(.) durante
o intervalo entre duas amostragens. Ou seja, o sistema (3), caso fosse
parte de uma malha com controlador de tempo discreto (um computador), seria
a seguinte malha
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Alternativamente, podemos pensar no controle
como uma seqüência de impulsos de intensidade u(i
),
ou seja, o impulso aplicado no instante ié
Então de (2) temos, com u (i)substituído
por 
,
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(2a) |
Ora, lembra-se a propriedade fundamental do impulso
onde 
(
- t0)é um impulso unitário aplicado no instante
t0.
Usando esta propriedade em (2a), vem
Omitindo
no argumento para simplificar a notação, temos
| x(i+1) = A.x(i) +B.u(i) | (3bis) |
onde, agora
 |
(5) |
(A expressão de A é a mesma
de (4), mas a expressão de B é diferente). É claro
que tal como em (4a), temos
|
(4a bis) |
Exemplo
Voltaremos ao problema da amostragem e
do seu processo inverso adiante, depois de nos aprofundarmos nos sistemas
de tempo discreto, que é o que faremos a seguir.
As equações (3) são
também as equações de um sistema "inerentemente" de
tempo discreto: pense-se, por exemplo, num sistema econômico em que
o "controle" são as medidas governamentais (tais como papel moeda
injetado no mercado, fixação da taxa cambial, etc...) e o
estado são variáveis tais como inflação, taxa
de desemprego, taxa de crescimento do PIB, superávit da balança
comercial, etc...). Tais sistemas já são formulados em termos
de equações de diferenças e não de equações
diferenciais.
Vamos então definir melhor isto.
Seja o sistema escalar (1 entrada e 1 resposta)
regido pela seguinte equação de diferenças (geral):
y(i+n) + pn-1 y(i+n-1) + … +
p1 y(i+1) + p0 y(i)=
=qn-1 u(i+n-1) + … + q1
u(i+1) + q0 u(i) ; i = 0, 1, 2, … (6)
Esta equação é análoga
à equação diferencial
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(6a) |
Observe-se que do ponto de vista formal, algébrico, as duas equações são idênticas. Assim, se definimos o operador p := d/dt para (6a)
e p := p[y(i)] = y(i+1)
vemos que as duas equações
podem ser expressas por
| pn . y +pn-1.pn-1.y
+ ... +p1.p.y +p0.y
= qn-1.pn-1.u + ... + q1.p.u + q0.u |
(6b) |
Ora, (6) descreve o comportamento de um
sistema geral (escalar) de tempo discreto. E tal como fizemos no caso de
tempo contínuo, podemos definir o estado do sistema (= variáveis
internas do sistemas), o que nos leva às equações
(3), i.e.
| x ( i + 1) = A . x(i) + B.u(i)
y(i) = C.x(i) |
(3bis) |
(Sabemos construir as realizações canônicas controlável e observável). Dissemos que as equações (6) são a forma geral para descrever um sistema linear escalar de tempo discreto. Na realidade, poderíamos admitir a existência do termo qn u(i+n) no 2o membro de (6), o que acarretaria, em (3), uma equação da resposta do tipo
y(i) = Cx(i) + Du(i)
Na realidade, não há perda de generalidade em se supor que as equações sejam como (3), porque caso haja o termo independente D u(i), basta redefinir a resposta.
Mas neste contexto há uma diferença importante entre sistemas de tempo contínuo e sistemas de tempo discreto, a saber, nos sistemas de tempo contínuo podemos ter respostas do tipo
onde k é finito.
(Isto corresponde a função de transferência imprópria).
Mas para sistemas de tempo discreto, se a resposta for
y(i) = C.x(i) + D0. u(i) + D1.u(i+1) + D2.u(i+2) + ...+ Dk.u(i+k)
então, se k 
1,
o sistema é antecipativo ou não-causal, porque a resposta
no instante i depende de valores futuros (i+1, i+2,..., i+k) do controle.
Tais sistemas não existem certamente no domínio da física
(ou pelo menos não foram encontrados até hoje). Se 
fora do domínio da física, é uma questão interessante...
Voltemos às equações (3)
Seja x0 := x(0)
Então, x(1) = A.x0 +
B.u(0)
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(7) |
Esta igualdade é o análogo da do tempo contínuo, a saber,
Compare-se cuidadosamente as equações de x(i) e x(t): observe-se que o que nesta última é eAt vira Ai; e note-se que o somatório de (7) é uma convolução discreta.
É claro que de (3) temos também,
em vista de (7)
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(8) |
Tal como no caso do tempo contínuo a 1a parcela em (8) é chamada a resposta natural do sistema, enquanto que a 2a parcela é a resposta forçada.
Se x0 = 0, vem
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(8a) |
Definamos
| H(i)=CAi-1B | (10) |
Então, de (8a), vem
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(9) |
H(i) é chamada resposta ao pulso (unitário)
Com efeito, de (8a), se u(0) = 1 e u(1) = u(2) = ... = 0, vem
y(i)=CAi-1B , i=1, 2, 3, ...
De novo, temos aqui a analogia com os sistemas de tempo contínuo para os quais vimos que a resposta ao impulso unitário aplicado na origem é CeAtB.
[Mas há aqui uma pequena discrepância com relação ao que foi dito acima, a saber, que o correspondente a eAt é Ai. A alternativa, seguida pelo livro, seria definir H(i)=CAiB. Mas o problema é que com esta escolha, H(i) deixa de ser resposta ao pulso na origem a qual é, como vimos acima,CAi-1B. Escolhemos manter a consistência de chamar H(i) resposta ao pulso na origem].