Antes de passarmos o Controle com Realimentação em Sistemas Multivariáveis, vamos dar dois resultados muito úteis, a respeito da controlabilidade e da observabilidade. Estes resultados são testes para verificar controlabilidade e observabilidade de sistema e são chamados por Kailath de "testes PBH", em homenagem a Popov, Belevitch e Hautus.
 

Teorema A-1: (Testes PBH dos vetores próprios)

Seja o sistema .

1) Ele será incontrolável se só se  um vetor linha q^T  0, q ⁿ, t.q.

q^T. A = . q^T, q^T.B = 0,

onde  é um auto-valor de A.

2) O sistema será inobservável se só se p ⁿ , q  0 t.q.

A.p = . p, C.p = 0.
 

Prova:

(Provaremos só a 1^a. parte, pq. a outra é dual)

(Se), por hipótese, q^T  0, q ⁿ  t.q.

q^T. A = . q^T , q^T.B = 0,

Pós-multiplicando a 1^a, por B, vem
 

(tendo em vista da 2a.)

Mas sendo q^T  0, esta última igualdade é possível se só se (A,B) for incontrolável.
 

(Somente se):

Se (A,B) é incontrolável,  uma decomposição do estado t.q. (redefinindo A e B após transformação de similaridade):
 

Seja q^T = [0  z^T]; então q^T.B = 0 (A-1)

Seja z ^T auto-vetor (à esquerda) de A ₂₂ . isto é,
 

Ou seja, q^T.A = . [0  z^T] = .q^T

Esta última igualdade e (A-1) concluem a prova.

O teste seguinte é usado muito frequentemente
 
 

Teorema A-2: (Teste PHB do posto)

1. O sistema é controlável se só se 

2. O sistema é observável se só se 
 

Prova:

(Provaremos só a 1^a parte, porque a 2^a é dual)

É claro que se 

Portanto basta considerar s (A)

(Se): Se  não existe

q^T 0 t.q. q^T[s.I - A:B] = [0  0]

Ou seja, não q^T 0  t.q.

q^T.B = 0, q^T.A = s.q^T, s (A)

Portanto, em vista do teorema anterior, o sistema é controlável.

(Somente se): Basta reverter o argumento, isto é:

Se o sistema é controlável, não q^T  0  t.q.

q^T.B = 0, q^T.A = s.q^T, s (A)
 

Então, não existe q^T  0

q^T[s.I - A:B] = [0  0]