O estado x ^e de uma equação dinâmica é um estado de equilíbrio se e somente se:  e para todo t

Isto significa que, se uma trajetória atinge um estado de equilíbrio e não é aplicada nenhuma entrada, a trajetória permanece no estado de equilíbrio para sempre. Ou seja:
para todo t.
Evidentemente, o estado ZERO é sempre um estado de equilíbrio de 

Definição: Um estado de equilíbrio x ^e  é estável no sentido de Liapunov se a resposta devida a um estado de inicial x ⁰ suficientemente próximo de x ^e não se distanciará de x ^e. Se a resposta retornar a x ^e,  x ^e é Assintoticamente Estável.

Definição:Um estado de equilíbrio é assintoticamente estável se ele é estável no sentido de Liapunov e se qualquer movimento iniciado suficientemente próximo de x ^e converge para x ^e quando t ® ¥ .
 

Observação: Se o estado zero (que é um estado de equilíbrio) é assintoticamente estável, então ele é o único estado de equilíbrio de 
 

Os conceitos de estabilidade definidos acima são propriedades locais, em virtude de não sabermos quão pequenos  e  devem ser. No entanto, para sistemas lineares, por causa da propriedade de homogeneidade, e  podem ser estendidos para todo o espaço de estado. Assim, se um estado de equilíbrio de uma equação dinâmica linear for estável ele será globalmente estável.
 

Sistemas Invariantes no tempo:

Consideremos:

A resposta ao estado zero, caracterizada por , é BIBO-estável se e somente se os pólos de G(s) tiverem parte real negativa (já visto anteriormente).

A resposta à entrada zero é determinada por  ou por 
Um estado de equilíbrio de é uma solução de , ou Ax = 0 e tem a propriedade para todo t ³ 0.
 

Teorema:
Todo estado de equilíbrio deé estável no sentido de Liapunov se e
somente se todos os autovalores de A têm parte real não positiva, e aqueles com parte real nula são zeros simples do polinômio mínimo de A (ou seja, se A for transformada para a forma de Jordan, a ordem de cada bloco de Jordan associado a um autovalor com parte real nula é 1)

Comentário:
A na forma de Jordan implica que cada termo de e^At é da forma , onde  é um autovalor de A. Se  é limitada, no intervalo [0,¥ ] ," k. Se , a função é limitada se e somente se k=0,ou seja, a ordem do bloco de Jordan associado ao autovalor com  é 1.

Teorema: O estado zero de  é assisntoticamente estável se e somente se todos os autovalores de A tiverem parte real negativa.