caso a) c₁ e c₂ ¹ 0 e de mesmo sinal:
os autovalores são + -  sistema instável

caso b) c₁ e c₂ ¹ 0 e de sinais opostos:
os autovalore são imaginários  sistema marginalmente estável.

caso c) c₁ e c₂ =0:
Ax=0 é satisfeita para qualquer s. O sistema é marginalmente estável. Observe que a ordem do bloco de Jordan associado a cada valor com parte real nula (2 autovalores neste caso) é 1.

caso d) c₁=0 e c₂ ¹ 0 ou vice-versa:
Se fizermos uma transformação de equivalência para a forma de Jordan, a ordem do bloco associado ao autovalor 0 será 2, que caracteriza uma raiz repetida.

Assim, o sistema será instável (alguns componentes da resposta crescem linearmente com t)
Observa-se que um sistema deste tipo ("off-diagonal system") nunca poderá ser assintoticamente estável.

2) Considere o sistema descrito por:

Verifique as estabilidades assintótica e Bibo.

Solução:
Autovalores: -1, -1, 0 Þ não é assintoticamente estável.
Não controlável Þ autovalor 0 desaparece Þ Bibo-estável.

Verificação:  (ou diretamente da forma de Jordan)

3)Considere:

Ache os estados de equilíbrio. Verifique sua estabilidade (no sentido de Liapunov e assintótica). A resposta ao estado zero é Bibo-estável?

4) Considere os sistemas abaixo:

a)

 
 

b)

 

Ache os valores de k para os quais os sistemas são Bibo-estáveis.
 

5) Um sistema com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência no "canal direto" :

A escolha de K influi da determinação das constantes de erro .De que modo?

Qual o limite para K de modo que o sistema seja estável?
 

Solução:
(a escolha de K não influi)


 

Análise de estabilidade:

Função de tranferência do sistema global:

Pólos: 

Portanto, 0< K < 60. Se K=60, por exemplo, existirão raízes imaginárias puras (conjugadas). O sistema não será Bibo-estável.

Limite para K_v : como 
O erro à rampa (sistema tipo 1) será de no mínimo ,onde R é a "amplitude" do sinal de entrada.
 

6)Para o sistema representado na figura, determine:

a)
b)e_ss quando r(t)= 16t + 2t (t ³ 0)

Solução:
a)
(sistema tipo 1)

b)r(t)=16 + 2t

Erro ao degrau (amplitude 16) = 0 (sistema tipo 1)
Erro à rampa = 

7)Um sistema com realimentação unitária apresenta

e r(t) = 3 t
Deseja-se que, para esta excitação  .Qual o menor valor possível de K para que isto seja atendido?

Estabilidade:

Pólos:  (por Rough) 0<K<30

Portanto, não existe valor de K que satisfaça a condição para e_ss.