Sistema Massa-Mola-Amortecedor com Dois Graus de Liberdade

Realizando o desenvolvimento pelo método de grafos de ligação, para variáveis de potência:

$S_e$ - Fonte de esforço

$S_f$ - Fonte de fluxo

$I$ - Inércia da massa

$C$ - Capacitor que modela a mola

$R$ - Resistores que modelam o amortecedor

Equacionamento:

$\varrho_{5} = \varrho_{2} ~~~~~~~~~~ f_{8} = f_{6} ~~~~~~~~~~~~~~~ f_{10} = f_{9}\\ ~~~~~\varrho_{1} = \varrho_{2} ~~~~~~~~~~ f_{7} = f_{6} ~~~~~~~~~~~~~~~ f_{11} = f_{9}\\ ~~~~~f_{2} = f_{1} - f_{5} ~~~~ f_{5} = f_{6} ~~~~~~~~~~~~~~~\varrho_{9} = \varrho_{11} + \varrho_{10}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \varrho_{6} = \varrho_{5} - \varrho_{7} - \varrho_{8}\\ f_{3} = f_{2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f_{13} = f_{14}\\ f_{4} = f_{2}~~~~~~~~~\varrho_{1} = \varrho_{2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ f_{12} = f_{14}\\ \varrho_{2} = \varrho_{3}+\varrho_{4} ~~~~\varrho_{12} = \varrho_{9}~~~~~~~~~~~~\varrho_{14} = \varrho_{12}-\varrho_{13}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f_{9} = f_{8}-f_{12}\\$

Feitos os desenvolvimentos necessários, forma matricial final:

$\begin{bmatrix} \dot{f_{6}} \\ \dot{f_{13}} \\ \dot{\varrho_{3}}\\ \dot{\varrho_{10}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \frac{{b_1}+{b_2}}{m_1} & \frac{b_2}{m_1} & \frac{1}{m_1} & - \frac{1}{m_1} \\ - \frac{b_2}{m_2} & -\frac{b_2}{m_2} & 0 & \frac{1}{m_2} \\ -k_1 & 0 & 0 & 0 \\ k_2 & -k_2 & 0 & 0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} f_{6} \\ f_{13} \\ \varrho_{3}\\ \varrho_{10} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{b_1}{m_1} & - \frac{1}{m_1} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{m_2} \\ k_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} f_{1} \\ \varrho_{7}\\ \varrho_{14} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} f_{7} \\ f_{14} \\ \varrho_{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -b_1 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} f_{6} \\ f_{13} \\ \varrho_{3}\\ \varrho_{10} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ b_1 & 0 & 0 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} f_{1} \\ \varrho_{7}\\ \varrho_{14} \end{bmatrix}$

As respostas no tempo serão analisadas nas variáveis $v1(t)$ e $v2(t)$ , que são as velocidades das massas em relação à referência, e $Fk(t)$ que é a força de compensação exercida pela mola $k_1$ .

Parâmetros do sistema: