Pode-se mostrar que, em presença de ruído aditivo Gaussiano branco, com mensagens equiprováveis, a regra de decisão ótima corresponde a escolher, entre os possíveis sinais transmitidos {s_i(t)}, aquele que estiver à menor distância do sinal recebido r(t). A distância entre os sinais s_i(t) e r(t) é definida aqui como
 
 

(37)

Pode-se observar que o valor mínimo de e _i (igual a zero) ocorrerá se e somente se r(t) = s_i(t).
A expressão (37) pode ser desenvolvida na forma
 
 

(38)

No processo de decisão, (38) deve ser calculada para todo valor de i. O menor valor indicará o sinal s_i(t) a ser escolhido. Note-se portanto que o primeiro termo de (38) não depende de i e, sendo assim, não influi na decisão. Eliminando este termo e multiplicando (38) por -1/2, pode-se estabelecer um procedimento equivalente de decisão que consiste em maximizar a expressão
 
 

(39)

onde o primeiro termo é a correlação temporal entre o sinal recebido r(t) e o sinal s_i(t) e o segundo term
o é a metade da energia do sinal s_i(t). Ou seja, o valor de i que minimiza (38) é o mesmo que maximiza (39).

Com base na expressão (39) pode ser estabelecida uma estrutura básica genérica para a recepção ótima em presença de ruído aditivo Gaussiano branco. Esta estrutura está mostrada na Figura 11 onde E_i representa a energia do sinal s_i(t).

Aplicando a Propriedade 2, verifica-se que o receptor da Figura 11 é equivalente ao receptor da Figura 12 onde os correlacionadores são substituídos por filtros casados.

Exemplo 4