S o l u ç õ e s  d e  A l g u n s  E x e r c í c i o s  d a  L i s t a  D e r i v a d a

(Fornecida por: Joao Alfredo Magalhães e Matheus Costa Leite)

13)

logo  e portanto areta desejada é:  .
Para encontrarmos os pontos desejados, basta resolver a equação  , que é equivalente a:    (1)

Note que, como e reta y =  é tangente a  em  , o ponto (1,0) pertence tanto a equação da reta quanto
a função  , logo  é uma solução de (1).

Para encontrarmos as outras soluções, é necessário fatorar (1). Todo polinômio de 4  grau é fatorável sob a forma  , onde a, b, c e d são suas raízes (reais ou complexas). Porém, já sabemos que 1 é raiz, então basta fatorar em  . Dessa maneira:

Observe que  também é soluçao da equação  , portanto 

Assim a equação  tem duas soluções  e   Ou seja, a interseção desejada ocorre nos pontos em que  .

 17)

Por ser a derivada de um polinômio de grau 4, p'(x) será de grau 3. A reta y = a.x + b tem coeficiente angular a, logo para se achar o ponto em que a reta tangente à curva é paralela à reta dada, basta encontrar as soluções da equação p'(x) = a (que implica p'(x) - a = 0) . Por ser p'(x) de grau 3, p'(x) - a também o será, e portanto a equação p'(x) - a = 0 possui no máximo três soluções. Nem todas as soluções são necessariamente reais, mas observe que quando ocorrem soluções complexas, elas ocorrem necessariamente aos pares. Assim como o polinômio é de grau 3, então existe pelo menos uma solução real que satisfaz a equação p'(x) - a = 0.
 

18)

 

21)

y =   y  = x 
Em x = a temos y =  e y  = a 
A equação da reta será y -  = a  (x - a)
Deseja-se a interseção com o eixo x, o que é equivalente a resolver a equação da reta para y = 0. Assim:

0 -  = a  (x - a) 
Portanto  é o ponto desejado.

22)

Dessa maneira, o coeficiente angular da reta é -8, ou seja, é necessário encontrar o(s) ponto(s) da função onde o coeficiente angular vale -8. Para tanto, basta igualar  a  :
é o ponto da função onde a reta tangente possui coeficiente -8.
O valor da função neste ponto é  , logo o que se pede é a reta com coeficiente angular -8 e que passa pelo ponto (-2, 9).
  é a reta desejada.

23)

a)
f(x + h) = x + h - 
f(x) = x - 
f(x + h) - f(x) = h -  +  = h +  = h.( 1 +  )
f (x) = 

 

b)
f(x + h) = 
f (x) = 
f (x) =      
 

d)