S o l u ç õ e s  d e  A l g u n s  E x e r c í c i o s  d a  L i s t a  D e r i v a d a 

(Fornecida por: Joao Alfredo Magalhães e Matheus Costa Leite)

2)

 

3)
     d = derivada. f = primitiva

 

A – d	D – d
C – f	B – f
B – d	A – f
C – d	G – d
E – d	E – f
G – f	D – f
F – f	F – d

6)

a)   par

b) -a, -b, a , b. Polinômios sempre podem ser decompostos sob a forma (x-a1).(x-a2)...(x-an) onde os an's são as raízes do polinômio (não necessariamente reais). Como há quatro zeros REAIS, poderia ser de grau quatro.

c) Crescente: (-c, 0) U (c, +oo) e Decrescente: (-oo, -c) U (0, c)

d) -c, 0 e c

e) A equação da reta tangente terá a forma  (Onde K corresponde a uma constante).

f) x  e x  obedecem a propriedade 1, e x  obedece a propriedade 2.

g) Dom(g) =  Dom(h) =  (pontos em que f(x) = 0), Dom(k) = Dom(h).

h)

e 

e 

i)

• , portanto  , logo a função é par.
• A função h não possui zeros.
• Como h(x) =  , à medida que f(x) cresce, h(x) decresce, e à medida em que f(x) decresce, h(x) cresce.

j) Esboço do gráfico da derivada de f(x)

7)

a) Pode-se calcular  através da reta auxiliar mostrada no gráfico, note que esta reta é tangente no ponto (1,-1).

b)  . Se tomarmos  , ficamos com g(t)=f(h(t)). Sendo assim, pela regra da cadeia,

. Note que, quando t=2, h(2)=1, e  =2 (item anterior).  . Em t=2,  5. Dessa maneira,  .

c)  . Em t=2, g(2)=f(1)=-1, logo P(2,-1) pertence à reta cujo coeficiente angular foi calculado no item b, igual a 10. Assim:   y+1=10.(t-2). Logo  é a equação da reta pedida.

8) A função f têm uma única raiz.

9)

a) Refletir em torno da reta y=x corresponde a achar a inversa da função. Assim, y=ax+b será levada a 

b) Da equação da reta: 

temos que m é igual a  (derivada da inversa de f(x)), que sabemos ser  . O ponto   (note que  está ''invertido'' com  , pois estamos falando da inversa de f(x), não de f(x) propriamente dita) pertence a reta , e ficamos com:

É interessante notar que, se calcularmos a inversa da reta obtida, encontraremos:

, que é exatamente a equação da reta tangente à f(x) no ponto  . Ou seja, a reta tangente em um ponto  da inversa de uma função qualquer é a inversa da reta tangente à função original no ponto  .