DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PUC-RIO
CICLO BÁSICO DO CTC.
P1- CALCULO I (29-09-98)

1) (JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS) Decida se cada proposição abaixo é falsa ou verdadeira.

a) Se  e  então  .

Solução: Falso.

Contra-exemplo:  e  .

Observe que  

b) Se  e  então  é uma sequência decrescente.

Solução: Falso,

como contra-exemplo considere a seguinte sequência:

c) Se  é uma função real definida por  então  possui no mínimo uma raiz no intervalo  .

Solução: Verdadeiro.

Desde que  e  , a função  é contínua (Polinômio) e  então pelo teorema do valor intermediário, para qualquer  temos que existe  tal que f(x) = c. Em particular, como  então f(x) = 0 para algum  .

2) (JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS) Decida se as sequências dadas abaixo convergem e em caso afirmativo determine o limite:

a) 

Solução: 

b)  com 

Solução:

Observe que  pois  e toda sequência da forma  com 0<r<1 converge para zero. (Teorema visto em sala de aula).

3) Considere   uma função com as seguintes propriedades:

a) f é contínua.

b) f é crescente no intervalo  .

c) f é decrescente nos intervalos  .

d)  ,  ,  ,  ,  

Solução:

4) (JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS) Considere uma função  cujo gráfico é dado pela figura abaixo:

a) Desenhe o gráfico da função 

Solução:

Observe que  é uma translação horizontal a esquerda de uma unidade e  é uma expansão vertical uniforme.

b) Desenhe o gráfico da função inversa 

Solução:

O gráfico da função inversa é obtido através de uma reflexão em torno da reta y = x.
 

5)

a) (JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS) Considere a função 

i) Utilize a definição de derivada para determinar a expressão de 

Solução:

ii) Determine a equação de uma reta que seja tangente ao gráfico de  e que passe pelo ponto P(2,5). (Se houver mais de uma, escolha uma delas).

Solução: Observe que o ponto P(2,5) não pertence ao gráfico da função. Assim é necessário determinar o ponto de tangência da reta com o gráfico. Considere  o ponto em que a reta que passa pelo ponto P(2,5) tangencia o gráfico da função. Assim o coeficiente angular desta reta será  e portando a equação da reta será:

 

No ponto  temos que  a derivada é   Substituindo na equação da reta:

 

Assim temos dois pontos de tangência e portanto duas retas possíveis.

i) Para  temos f(3)=9+3 =12 e  e portanto a equação da reta será:

y = 7(x-2)+5 y = 7x-9

ii) Para  temos f(1) = 1+1 = 2 e  e portanto a equação da reta será:

y = 3(x-2)+5 y = 3x-1

b) Os gráficos abaixo podem ser agrupados em pares tais que cada par é composto pelo gráfico de uma função e o gráfico de sua derivada. Identifique os pares explicitando qual é o gráfico da função e qual é o gráfico da derivada.

 

Solução:

 

Função	Derivada