Este é um dos melhores métodos para se obter estimadores pontuais de um parâmetro.
 

Definição Seja X um v.a. com densidade de probabilidade f(x,q), onde q é o parâmetro desconhecido.  Sejam x1 , x2 ,...., xn os valores observados em uma a.a de tamanho n. Então a função de máxima verossimilhança da amostra é: L(q) = f(x1, q). f(x2,q )...... f(xn,q) = Pf(xi,q).

Note que a L é função somente de q, uma vez que os valores de x tenham sido observados. O estimador de máxima verossimilhança para q é aquele que maximiza L(q ).

Exemplo

Seja X uma v.a. do tipo bernoulli(p). Logo a função de máxima verossimilhança para uma amostra de tamanho n será:

Seja o estimador que maximiza L(p), então  também maximiza ln L(p).

Logo desenvolvendo ln L() = 0 temos que

Exercício:

Seja X uma v.a. do tipo N(m , s²). Aplique o método da máxima verossimilhança para achar estimadores para mes².

CASO ESPECIAL

Seja X ~ Unif[0, a]. Calcule um estimador de a.

Se tentarmos resolver pelo método da máximo Verossimilhança teremos:

Que não nos permitir tirar nenhuma conclusão sobre o valor de a! Vamos verificar de um outro modo.

Sabemos que todos os x_i’s possíveis são menores ou iguais a "a". Logo podemos

0 £X₍₁₎£X₍₂₎, £  ... £ X_(n) £ a

E por conseguinte o valor que mais se aproxima de "a" e o valor da maior observação.

â = X_(n)

E se agora tivéssemos:

• X ~ Unif [a, 2]
• X ~ Unif[-a , a]