Estimadores Não Tendenciosos

Um bom estimador deve estar "perto" em algum sentido do verdadeiro valor do parâmetro que ele quer estimar. Formalmente, dizemos que  é um estimador não tendencioso de q se, o valor esperado deé igual a q. Isto equivale a dizer que o a média da distribuição deé igual a q.
 
 

Definição Um estimador pontual  é um estimador não tendencioso paraqse:  Se o estimador é tendencioso dizemos que a diferença: é a tendência do estimador

Exercício (feito em sala)

Suponha que X é uma v.a. com média m e variância s². Sejam X₁, X₂,...., X_n uma a.a. de uma população de tamanho n, representada por X. Mostre que a média amostral e a variância amostral são estimadores não-tendenciosos de m e s² .

Variância e Erro Médio quadrático de um estimador Pontual

Suponha que ₁ e ₂ são estimadores não tendenciosos deq. Isto indica que os dois têm suas distribuições centradas emm . No entanto a variância destes dois estimadores pode ser diferente, veja a figura abaixo, as duas distribuições possuem a mesma média, no entanto a variância da distribuição de ₂ é maior que a
de ₁ .

Logo o estimador₁ deve produzir valores mais próximos do valor real deq. Um princípio lógico, então, é escolher o estimador com menor variância.
 
 

Definição Sejam todos os estimadores não tendenciosos de q. Aquele que tem a menor variância é chamado Estimador Não Tendencioso de Variância Mínima (MVUE).

 

Definição O erro médio quadrático de um estimadorde um parâmetro q é definido como:  Podemos reescrever como: