Considere o sistema (invariante e monovariável) :

Aplicando a Transformada Z:

z X(k) - z x(0) = AX(z) + bU(z)

Y(z) = cX(z) + dU(z)

Considerando x(0) = 0 Þ X(z) = (z I - A)^-1 b U(z)

logo: Y(z) = c(z I - A)^-1 b U(z) + dU(z)
ou:

® função de transferência
 

Para sistema contínuos:

Aplicando a trasformada de Laplace:

Se x(0) = 0 Þ H(s) = Y(s) / U(s) = c(sI - A) ^-1 b + d
 

Para um sistema linear e invariante no tempo, a função de transferência  é a transformada de Laplace da resposta impulsional.
 
 

Se, por exemplo , u(t)= impulso Þ U(s)=1 Þ Y(s) =H(s)
Como,por definição ,y(t)=h(t) ,se u(t) = impulso, é evidente a correspondência entre h(t) e H(s).
 

Exemplo: 

  H(z) = bc /(z-a)

A equação a diferenças correspondente pode ser obtida fazendo:

Se 

tem-se:

y(0)=0
y(1)= ay(0) + bc = bc
y(2)= ay(1) = abc
y(3)= a²bc
.
.
.
y(k)= bca^k-1

Portanto: 
 

Para sistemas multivariáveis, tem-se uma MATRIZ FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA:

, onde cada H_ij é a função de transferência do j-ésimo terminal de entrada para o i-ésimo terminal de saída, ou seja:
 

Exemplo: Consideremos o circuito já visto:

Lei das malhas (u₂ º 0 )

Achando I₂(s) e sabendo que Y(s) = sI₂(s), tem-se

Agora, fazendo u₁ º 0:

Resolvendo: 
logo: 

Partindo das equações obtidas anteriormente,teríamos que chegar ao mesmo resultado:

. c.q.d