Distribuição de probabilidade muito usada como generalização da binomial.

Suponha que um experimento aleatório consiste de uma série de n tentativas. Assuma que:

i. o resultado de cada tentativa é classificado dentro de k classes
ii. a probabilidade de uma tentativa gerar um resultado na classe 1, na classe 2, ...., na classe k é constante  igual a p1, p2 .. pk, respectivamente.
iii. as tentativas são independentes

As variáveis X₁, X₂, .... X_p que denotam o número de tentativas que resultam na classe 1, na classe 2, ...., na classe k, respectivamente têm densidade MULTINOMIAL, com probabilidade conjunta

P( X₁ = x₁ , X₂ = x₂ , ...., X_k = x_k) =
para x₁,+x₂+....+ x_k= n e p₁,+p₂+....+ p_k= 1

Se X₁, X₂, .... X_p têm densidade multinomial, a densidade marginal de X_i é binomial com

E(Xi) = np_i
Var(Xi) = np_i (1 - p_i)

Exemplo

Um receptor recebe 20 bits. Qual a probabilidade de uqe 12 sejam excelentes, 6 serem bons, 2 serem razoáveis e nenhum ser ruim? Assuma que a classificação de cada bit é independente e que a probabilidade de cada classificação é 0.6, 0.3, 0.08, 0.02, respectivamente.

P( X₁ = 12, X₂ = 6, X₃ = 2, X₄ = 0) = = 0.0358

A densidade marginal de X₂é uma binomial(20, 0.3). No entanto a densidade de , X₂ e X₃é encontrada da seguinte forma:

P(X₂ = x₂, X₃ = x₃) é a probabilidade de que exatamente x₂ resultados sejam bons e x₃ resultados sejam razoáveis. Os (n - x₂ - x₃) resultados restantes podem ser excelentes ou ruins. Consequentemente, cada resultado pode estar em uma das seguintes três classes : { bom}, {razoável}, {excelente ou ruim}, com probabilidades 0.3, 0.08 e 0.6+0.02=0.62, respectivamente. Logo

f_{X2 X3} (x₂,x₃) = 

Outros subconjuntos podem ser encontrados de forma similar.