A distribuição Normal é talvez a mais importante das distribuições de probabilidade, por razões que ficarão claras ao longo deste curso. Erros de mensuração de fenômenos físicos ou econômicos são freqüentemente modelados pela distribuição Normal, mas esta não é a única aplicação desta densidade. Por exemplo, a distribuição dos pesos, alturas e QI's das pessoas numa população também já foram modelados com sucesso por esta distribuição. A distribuição Normal tem a forma de um sino, e possui dois parâmetros, m e s ² .

A distribuição Normal é também chamada de Gaussiana em homenagem ao matemático Carl Friederich Gauss (1777 - 1855).

A distribuição Normal também funciona como uma boa aproximação para outras densidades. Por exemplo, sob algumas condições pode-se provar que a densidade Binomial pode ser aproximada pela Normal.

A variável aleatória X tem densidade Normal (ou Gaussiana) com média m e variância s ² se sua densidade é:

,

Notação: 

Características da distribuição Normal

• A densidade f(x) acima integra a 1.
• f(x) é sempre não negativa.
• Os limites quando x tende a +¥ ou -¥ de f(x) são iguais a zero.
• f(x) é simétrica em torno de m , isto é : f(m +x) = f(m -x).
• O máximo de f(x) ocorre em x = m , isto é m é a moda da distribuição.
• Os pontos de inflexão de f(x) são x = m + s  e  x = m - s .

Se  então

i) E ( X ) = m

ii) VAR ( X ) = s ²

Função de Distribuição de uma Normal

Se  então a sua função de distribuição é dada por :

Esta integral não pode ser resolvida analiticamente. Veremos abaixo como sair dessa enrascada!

A Densidade Normal Padrão

Esta densidade é importante por que sua função de distribuição está tabelada e todas as outras Normais podem ser transformadas numa Normal padrão, como veremos mais adiante.
 
 

Definição Uma v.a. Normal que tem média 0 e variância igual a 1 é chamada de normal padrão. Uma variável do tipo normal padrão costuma ser denotada por Z ~ N(0,1).

A densidade de Z , denotada por j (.), é :

A função de distribuição de Z é uma função tabelada, denotada por F (.) .

Como calcular probabilidades para uma variável N( m , s 2 ) usando a tabela da função de distribuição da N(0,1) ?

Teorema 3.1.17.

Seja  Suponha que desejamos calcular Pr( a £ X £ b). Então :

onde Z ~ N(0,1) acima.

O que este teorema nos dá é uma "receita" para o cálculo de probabilidades em termos da função de distribuição de uma variável aleatória N(0,1). A partir do resultado do teorema podemos calcular probabilidades para qualquer variável aleatória Normal a partir da função tabelada F (.) .

A maioria das tabelas para a função de distribuição da N(0,1) só fornece os valores das probabilidades para valores de z positivos. Como encontrar probabilidades para outros valores de z ? É só usar a simetria da densidade N(0,1). Em particular, se z é positivo, F ( -z ) = 1 - F ( z ), e isso pode ser facilmente verificado usando-se o gráfico da densidade N(0,1).

Entretanto, é possível transformar uma variável N( m , s ² ) numa N(0,1) sem grandes dificuldades, e então podemos tabelar os valores da função de distribuição de uma N(0,1), e esta tabela pode ser usada para encontrar probabilidades envolvendo qualquer variável aleatória Normal.

Se então a variável aleatória  tem distribuição N(0,1), a distribuição Normal padrão.
Logo, para transformar uma variável aleatória Normal com quaisquer parâmetros numa Normal (0,1) você deve:

1- Subtrair a média m

2- Dividir o resultado por s , o desvio padrão

A variável aleatória resultante deste procedimento é uma N(0,1).

Exemplo

Suponha que uma medida de corrente em um fio assuma uma distribuição normal com média 10 mA e variância de 4 mA². Qual a probabilidade de que a medida exceda os 13mA?

Z = (X-10)/2

P( X > 13) = P ( Z > 1.5) = 1- P ( Z £ 1.5) = 1 - 0.93319 = 0.6681

Qual a probabilidade de que a corrente esteja entre 9 e 11 mA?

P( 9 < X < 11) = P( -0.5 < X < 0.5) = P( Z < 0.5) - P( Z < -0.5) = 0.69146 - [1 - P(Z < 0.5)] = 0.38292

Determine o valor de x para o qual P (X < x) = 0.98 .

P(X < x) = P( Z < (x-10)/2) = 0.98

P( Z < 2.05) = 0.98

x = 2.(2.05) + 10 = 14.1

APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL PELA NORMAL

Quando temos o "n" da binomial muito grande fica muito difícil calcular as probabilidades, neste caso podemos aproximar a v.a. binomial por uma normal usando:

Se X é uma v.a. binomial então :

é uma v.a aproximadamente normal!

Exemplo:

Assuma que em um canal digital o número de bits recebidos com erro pode ser modelado como uma v.a. binomial, e assume que a probabilidade de ter um bit com erro é de 10^-5. Se 16 milhões de bits são transmitidos qual a probabilidade de que mais de 150 erros ocorram?

Ruim de calcular!!!

=

OBS: Quando usar a aproximação: Quando np > 5 e n(1-p) > 5

APROXIMAÇÃO DA POISSON BINOMIAL PELA NORMAL

Lembrando que a v,a de Poisson foi desenvolvida a partir do limite de uma binomial quando o número de repetições cresce para infinito, não surpreende o fato de que a densidade Normal possa ser usada para aproximar uma Poisson.

Se X ~ Poisson(l) com E(X) = l e Var(X) = l então

é aproximadamente N(0,1)