O estudo de probabilidades diz respeito a experiências aleatórias, cujo resultado não pode ser conhecido "a priori", isto é, antes que a experiência seja efetivamente realizada e o seu resultado observado. Por exemplo, o lançamento de uma moeda ou de um par de dados e a retirada de uma carta de um baralho são todas experiências aleatórias.

O conceito de probabilidade surgiu a partir da experimentação, e as origens deste estudo começam no século XVII a partir do estudo de jogos de azar (dados, cartas, jogos de cassino, etc...). Entretanto, o uso de probabilidades é bem mais amplo e a idéia de um fenômeno aleatório é empregada em quase todos os ramos da ciência. Embora o resultado de uma experiência aleatória seja imprevisível existe um certo tipo de regularidade presente neste tipo de experiência, e isto nos permite criar modelos para representar fenômenos aleatórios.

Por exemplo, ao lançarmos uma moeda sabemos que, se a moeda não é viciada e a experiência for repetida um número grande de vezes, a proporção de "caras" observadas deve ser igual à proporção de "coroas". Logo, podemos interpretar como a probabilidade de "cara" o limite da proporção em que "cara" é observado em um número grande de jogadas. Esta interpretação é chamada de "frequência relativa" e é razoável em certas situações, como em jogos de azar. No entanto, esta maneira de pensar em probabilidades é muito restritiva, pois não inclui casos onde a experiência não pode ser repetida indefinidamente.

A interpretação de frequência relativa não é a única, e nem a mais completa interpretação de probabilidade. Por exemplo, como se poderia, a partir desta interpretação, representar a probabilidade de um bebê nascido hoje viver mais de 80 anos ? Claramente, cada bebê é único, carrega o seu próprio código genético e terá sua expectativa de vida afetada por fatores ambientais, entre outros. Neste caso não é possível repetir indefinidamente a experiência "vida" do bebê em condições sempre iguais, e é necessário estender a idéia de probabilidade além de um simples limite de frequências para poder englobar casos como este.

Nós trabalharemos com uma noção "matemática" de probabilidades, a partir da definição de uma estrutura precisa que inclui as diversas interpretações possíveis.

O objetivo principal do estudo de probabilidades é representar algum fenômeno físico de interesse através de um modelo probabilístico adequado. A partir da escolha deste modelo podemos realizar objetivos secundários, como o cálculo das probabilidades de certos eventos. O primeiro passo é identificar quais são os possíveis resultados da nossa experiência, ou seja, que tipo de resultados são decorrentes da especificação do nosso modelo probabilístico.

Exemplos de fenômenos aleatórios :

1 - Joga-se uma moeda 3 vezes. Quantas "caras" vão sair ?

2 - Joga-se um dado. Qual o número que vai sair ?

3 - O número de caminhões de cerveja que passam numa dada esquina num período qualquer de tempo é também uma experiência aleatória.

4 - O número de assassinatos que ocorrem no Rio de Janeiro num final de semana é um fenômeno aleatório também.

5 - A temperatura máxima no Rio de Janeiro no dia 01/01/2000 é também uma experiência aleatória.

Em todos estes casos, o resultado da experiência não pode ser conhecido antes da realização da própria experiência. No entanto, o fato do fenômeno ser aleatório não quer dizer que exista uma ignorância total sobre ele. Num exemplo muito simples, quando jogamos um dado comum sabemos que os resultados possíveis são 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. No exemplo da temperatura, sabemos intuitivamente que faz calor no Rio no mês de janeiro, e então a temperatura máxima deve ser maior que, por exemplo, 20 graus, e menor que algum valor alto, como 50 graus.

A definição axiomática de probabilidade que será usada aqui baseia-se na teoria de conjuntos, e é importante que você saiba quais são as operações básicas envolvendo conjuntos ( união, interseção, complemento, etc...).
 
 

Seja S o conjunto de todos os resultados possíveis desta experiência. O conjunto S é chamado de espaço amostral (ou espaço de amostras).

Exemplos:

1- Jogamos um dado, o espaço amostral é {1,2,3,4,5,6}, ou seja, o número que aparece na face do dado.

2- Uma moeda é jogada 3 vezes, e observamos a seqüência de caras (H) e coroas (T). O espaço amostral é S = { HHH, THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT, TTT}

3- Uma lâmpada é fabricada e testada até queimar, e registra-se o tempo de ocorrência deste evento. O espaço amostral é S = { x : x  0 }.

4- Um aluno permanece por 3 horas na porta de um estacionamento de shopping center e registra o número de carros importados que entram no shopping. O espaço amostral é { 0, 1, 2, 3, ..... }.

Nos casos 1 e 2 o espaço amostral é finito. No exemplo 3 o espaço amostral é infinito não enumerável, e no exemplo 4 é infinito enumerável.
 
 

Da definição segue diretamente que ambos Æe S são eventos. Note que , se o espaço amostral é finito e possui n elementos, então existem 2 n subconjuntos deste espaço amostral, isto é, existem 2n eventos. É claro que não podemos dizer quantos eventos existem associados a um espaço amostral infinito.