Realizando o desenvolvimento pelo método de grafos de ligação, para variáveis de potência:
S_e - Fonte de esforço
S_f - Fonte de fluxo
I - Inércia da massa
C - Capacitor que modela a mola
R - Resistores que modelam o amortecedor
Equacionamento:
\begin{bmatrix} \varrho_{5} = \varrho_{2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f_{8} = f_{6} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f_{10} = f_{9}\\
\varrho_{1} = \varrho_{2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f_{7} = f_{6} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f_{11} = f_{9}\\
\;\;\;\;\;f_{2} = f_{1} - f_{5} \;\;\;\;\; f_{5} = f_{6} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varrho_{9} = \varrho_{11} + \varrho_{10}\\
\;\;\;\;\;\; \varrho_{6} = \varrho_{5} - \varrho_{7} - \varrho_{8}\\
f_{3} = f_{2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f_{13} = f_{14}\\
f_{4} = f_{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \varrho_{1} = \varrho_{2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f_{12} = f_{14}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; \varrho_{2} = \varrho_{3}+\varrho_{4} \;\;\;\;\; \varrho_{12} = \varrho_{9}\;\;\;\;\;\;\;\;\; \varrho_{14} = \varrho_{12}-\varrho_{13}\\
\;\;\;\;f_{9} = f_{8}-f_{12}\\ \end{bmatrix}
Feitos os desenvolvimentos necessários, forma matricial final:
\begin{bmatrix}
\dot{f_{6}} \\
\dot{f_{13}} \\
\dot{\varrho_{3}}\\
\dot{\varrho_{10}}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
- \frac{{b_1}+{b_2}}{m_1} & \frac{b_2}{m_1} & \frac{1}{m_1} & - \frac{1}{m_1} \\
- \frac{b_2}{m_2} & -\frac{b_2}{m_2} & 0 & \frac{1}{m_2} \\
-k_1 & 0 & 0 & 0 \\
k_2 & -k_2 & 0 & 0
\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}
f_{6} \\
f_{13} \\
\varrho_{3}\\
\varrho_{10}
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
\frac{b_1}{m_1} & - \frac{1}{m_1} & 0 \\
0 & 0 & -\frac{1}{m_2} \\
k_1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}
f_{1} \\
\varrho_{7}\\
\varrho_{14}
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
f_{7} \\
f_{14} \\
\varrho_{1}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-b_1 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}
f_{6} \\
f_{13} \\
\varrho_{3}\\
\varrho_{10}
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
b_1 & 0 & 0
\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}
f_{1} \\
\varrho_{7}\\
\varrho_{14}
\end{bmatrix}
As respostas no tempo serão analisadas nas variáveis
v1(t) e
v2(t), que são as velocidades das massas em relação à referência, e
Fk(t) que é a força de compensação exercida pela mola
k_1.
Parâmetros do sistema:
