Da propriedade 3, tem-se:

Z{y(k)} = Y(z)

Z{y(k+1)} = z Y(z) – z y(0)

Z {y(k+2)}= z² Y(z) – z² y(0) – z y(1)
.
.
.
 

Considerando agora a equação a diferenças de ordem n :

y(k+n) + n_a-1 y (k + n -1) + ...  + a₀ y(k) =  g(k)   ;k= 0,1,2,...

e aplicando a transformada Z, tem-se (com condições iniciais nulas)

Para se achar y(k), deve-se determinar a transformada inversa através da expansão
 por frações parciais.

Exemplos:

1) y(k+1) – y(k) = 0   ;k=0,1,2,...

    y(0)=1

zY(z) - zy(0) – Y(z) = 0

(z-1)Y(z) = z Þ Y(z)= z /(z-1) Þ y(k) = 1 ;k ³ 0
 

2) y(k+1) + 2y(k) = 4^{k   ;}k ³ 0

  y(0) = 0

 (k+2) Y(z) = z / (z-4)

Transformada Inversa:

ou: