A variável aleatória X tem distribuição Exponencial com parâmetro l , e escrevemos X ~ Expo( l ) se sua densidade é:

A função de distribuição da variável aleatória X é dada por :

Média e variância de uma Exponencial

Se X ~ Expo( l) então:

i) E ( X ) = l

ii) VAR ( X ) = l²

Nota

Em muitos livros define-se a distribuição Exponencial como:

Neste caso é só fazer b = 1/lno resultado anterior, e nesta parametrização alternativa, a média e a variância da variável aleatória são, respectivamente, 1/b e 1/b ².

Exemplo

A duração de um componente eletrônico segue uma distribuição Exponencial com média l . Encontre a probabilidade de que a duração do componente seja menor que a sua duração média.

Solução

Queremos calcular Pr( X < l) onde X tem distribuição Exponencial com média l .

Este resultado é válido para qualquer valor de l > 0. Por exemplo, se X ~ Expo(2), então Pr( X < 2) = 0.63212, se

X ~ Expo(1) , Pr( X < 1) = 0.63212, etc...

Logo, a probabilidade de X durar menos que sua média é maior que 50%.

Exemplo

A duração de um fusível é uma variável aleatória com densidade Exponencial. Existem 2 processos de fabricação de um fusível : no primeiro, a vida média do fusível é de 100 horas, e no segundo processo a vida média do fusível é de 150 horas. No entanto, o custo de produção no primeiro processo é de C reais por fusível, enquanto no segundo processo o custo por fusível é 2.C . Se o fusível dura menos de 200 horas, o fabricante recebe uma multa de K reais.

Qual processo de fabricação deve ser usado ?

Solução

A diferença entre os dois processos está na duração dos fusíveis. Para o processo I a duração média él ₁ = 100 h e no caso do processo II temos uma duração média de l ₂ = 150 h . Qual o custo esperado segundo os dois processos ?

No processo I :

No processo II :

onde agora X tem densidade Expo(l = 150). Logo :

Comparando os custos médios segundo os 2 processos temos :

O processo a ser utilizado é o que tem menor custo esperado. Logo, o processo II será escolhido quando
C - 0.1283.K < 0 , isto é , quando C < 0.1283.K. Do contrário , se C > 0.1283.K deve-se optar pelo processo I.

Por exemplo, se o custo unitário de produção é C = R$ 0.50 e a multa é K = R$ 5 devemos escolher o processo II pois C = 0.50 < 0.1283(5) = 0.64 . Neste caso ( custo unitário = C = 0.50) o processo II deverá ser escolhido sempre que a multa for maior que R$ 3.897. Do contrário devemos escolher o processo I.

A falta de memória da densidade Exponencial

Já mencionamos antes que a densidade Geométrica era a única densidade discreta que possuía a seguinte propriedade, conhecida como "falta de memória" :

onde s e t são números > 0 .

A densidade Exponencial é a única densidade contínua que segue a mesma propriedade. Note que, se X~ Expo(l) então

Logo,

Por exemplo, se a duração de uma lâmpada é modelada através da densidade Exponencial e observa-se que a lâmpada está funcionando no instante t₁ então a probabilidade da lâmpada funcionar mais t₂ horas é a mesma que a probabilidade de uma lâmpada nova funcionar t₂ horas. Ou seja, não há desgaste com o passar do tempo, o que é irreal em muitas situações . Este fato torna o uso da densidade Exponencial pouco apropriado na modelagem de duração (ou vida) de muitos componentes eletrônicos ou seres vivos. A alternativa mais usual é a densidade Weibull.